Я верю в вас

[alonso_kexano]

И нихрена не верю в себя, так что, как только получу внятный ответ на вопрос, пост сотру, чтобы никто не видел, какая я дура.
Собственно, я не то чтобы совсем дура. Просто в третьем семестре я влюбилась в преподавателя высшей математики и, собственно, про(зачеркнуто) пролюбила все полгода учебы, а матстатистику нормальные люди учили именно тогда.
Так вот. Имеется набор экспериментальных данных (экспериментаторы - криворукие идиоты, но это к делу не относится). Это не случайная выборка. Это зависимость электропроводности раствора от его концентрации. Концентрацию не трогаем. Электропроводность рассчитываем теоретически, получаем данные, близкие к экспериментальным, но немного отличающиеся. Величина, которая характеризует то, насколько они отличаются, - дисперсия аппроксимации.
Объясните, ради бога, по какой формуле считается эта хрень.
Буду очень благодарна.

Comments

[see-at-focus.livejournal.com]

Переформулируй задачу, а то нифига непонятно.
Тебя интересует средняя величина выброса? Считается либо по модулям, либо средневзвешенная

[alonso-kexano.livejournal.com]

Математег, блин:(((
Йа блондинко. Меня интересует дисперсия аппроксимации. Именно так она называется, и меня интересует, что стоит за этим понятием.
Ты, кстати, еще не вышел? Поехали сейчас в центр вместе?

[see-at-focus.livejournal.com]

Поехали
Заодно и поговорим

[alonso-kexano.livejournal.com]

Угрожающе звучит. Я тебя боюсь.

[caffe-junot.livejournal.com]

Или подождите до вечера, когда я буду дома и смогу открыть нужную книгу, или наведайтесь сюда:
http://gmmcc.com.ua/gmmcc/doc/dsp01.doc
(возможно, там есть точный ответ).

Л.

[alonso-kexano.livejournal.com]

Ой... спасибо. Я подожду до вечера - почему-то ссылка не открывается.

что ж, пробуем разобраться.

[(Anonymous)]

Часть первая, самая страшная.

Дисперсия аппроксимации – достаточно сложная штука. В связи с чем меня терзают смутные сомнения, не использованы ли эти термины произвольно. Это задание из университетской методички, так?..
Хм. Ну тогда вот что. Сначала беллетристика о «дисперсии аппроксимации», потом – как обычно обходятся с такими ситуациями.

***
1. Имеется физический объект – раствор, с концентрациями (х). С помощью прибора получен некий сигнал – значение электропроводности (y). Между ними существует связь, которую можно представить в виде мат.функци f(x)=y.
2. Формулы сигналов, эта самая функция f, могут быть очень сложными и мало пригодными к практическому использованию при математическом анализе данных и в чисто прикладных задачах, особенно при расчетах ожидаемых результатов измерений и при математическом моделировании процессов.
Кроме того, практическая регистрация данных выполняется с определенной погрешностью (с определенным уровнем шумов). Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации – представления сложных функций f(x) простыми и удобными для практического использования функциями j(x) таким образом, чтобы отклонение j(x) от f(x) в области ее задания было наименьшим по определенному критерию приближения. Функции j(x) получили название функций аппроксимации.
3. Другой случай, когда нужна аппроксимация.
Математика очень часто оперирует специальными математическими функциями решения дифференциальных уравнений и интегралов, которые не имеют аналитических выражений и представляются табличными числовыми значениями yi для дискретных значений независимых переменных xi. Аналогичными таблицами {yi, xi} могут представляться и экспериментальные данные. Точки, в которых определены дискретные значения функций или данных, называются узловыми. Однако на практике могут понадобиться значения данных величин совсем в других точках, отличных от узловых, или с другим шагом дискретизации аргументов. Возникающая при этом задача вычисления значений функции в промежутках между узами называется задачей интерполяции, за пределами семейства узловых точек вперед или назад по переменным – задачей экстраполяции или прогнозирования. Решение этих задач обычно выполняется также с использованием аппроксимирующих функций.
Вопрос (что мне, собственно говоря, и непонятно в задаче :)): Вы же знаете зависимость между концентрацией х и электропроводностью у? на кой Вам аппроксимировать ее???

Тем не менее, идем дальше.

[(Anonymous)]

ы прочитайте (сидя в глубоком кресле, чтобы не падать, и вспомните: есть в этом тексте хоть одно смутно знакомое слово?)
методика аппроксимации эмпирических данных
Эмпирические данные, как правило, задаются числовыми рядами значений двух величин: независимой (yk) и зависимой (xk) , каждая из которых в общем случае кроме определенной регулярной (детерминированной) составляющей может содержать и случайные составляющие самой различной природы, обусловленные как статистической природой изучаемых процессов, так и внешними факторами процессов измерений и преобразования данных (шумы, помехи, дестабилизирующие факторы и ошибки измерений). Независимая переменная xk обычно полагается детерминированной, а, следовательно, ее случайная составляющая "переносится" на зависимую переменную yk. Полагается также, что значения случайной составляющей зависимой переменной (как собственные, так и "суммарные") распределены по некоторому вероятностному закону (например – нормальному).
При выполнении аппроксимации данных априорно предполагается существование определенной детерминированной связи y(x) между регулярными составляющими этих двух числовых рядов на статистически значимом уровне, достаточном для ее выявления на уровне случайных составляющих. Задача выявления такой закономерности относится к числу неопределенных и неоднозначных, результат которой существенно зависит от трех основных и весьма субъективных факторов:
· выбора меры близости зависимой переменной к искомой функции и метода построения приближения (параметров математической модели);
· выбора подходящего класса функции аппроксимации (степенной, тригонометрической и пр.), отвечающего физической природе моделируемого процесса;
· метода оптимизации порядка модельной функции или числа членов ряда аппроксимирующего выражения.
Отсюда следует, что оптимальная аппроксимация может быть обеспечена только достаточно гибкими интерактивными алгоритмами на основе многоэтапных итерационных процессов с возможностью коррекции на каждом этапе.
Мера приближения
Квадратичная мера
Мера наименьших модулей
Минимаксная мера (мера Чебышева – минимизация максимального расхождения функции аппроксимации с данными)
Есть еще и другие.
Эти операции выполняются либо с помощью матриц, либо с помощью дифференциальных уравнений. Бывали у Вас такие задания?
Если нет, то, видимо, что-то в терминологии все-таки не то.

Как поступают белые люди

[(Anonymous)]

Есть две выборки данных, значений электропроводности. Игрек-катое (понятно, что это такое? Нижний индекс я тут не напишу, yk, k – должно быть ниже строки) – экспериментально полученные, игрек-итое (yi) – расчетные.
Число точек измерений и расчета (n) одинаково.
Надо сравнить средние значения yk и yi.
Сперва нужно убедиться, что дисперсии однородны, с помощью критерия Кохрена (или критерия Бартлетта – это точно есть в справочниках).
Он-лайн программа для проверки однородности дисперсий http://chemstat.com.ru/online/kochren.html
Если дисперсии неоднородны, то сравнение средних проводить нельзя.

Затем вычисляется дисперсия средних. После чего эти две дисперсии сравниваются между собой по критерию Фишера (среднюю дисперсию при этом нужно поделить на n). Число степеней свободны дисперсии средних равно m-1, число степеней свободы средней дисперсии - m(n-1). M=2, т.к. у нас всего две выборки.
http://chemstat.com.ru/online/fisher.html
Он-лайн программа для сравнения двух дисперсий
Если средние различаются незначимо, то различие между средней дисперсией и дисперсией средних также должно быть незначимо.
Это общий метод сравнения данных, полученных в разных лабораториях, или экспериментальных данных с расчетными. Без особых наворотов.

И попробуйте зайти сюда:
http://chemstat.com.ru/glossary – это словарь.

Аппроксимация, или приближение (от approximation) - замена математического объекта более простым объектом, имеющим сходные свойства.
Аппроксимация позволяет упростить исследование характеристик объекта, сведя задачу к изучению более простых или более известных объектов.

Наиболее распространенный в аналитической химии пример аппроксимации - это приближение градуировочной функции прямой. Такой прием позволяет упростить вычисления и просто и наглядно представить градуировочные характеристики.
Дисперсия - (от лат. dispersio - рассеяние), в математической статистике наиболее употребительная мера рассеивания, отклонения случайных значений от среднего.
Дисперсия является случайной величиной и подчиняется хи-квадрат распределению. Достоверность дисперсии определяется числом степеней свободы f.
Применительно к обработке результатов измерения дисперсия характеризует случайную погрешность. Наряду с дисперсией используется стандартное отклонение, которое равно квадратному корню из дисперсии.
Если на результат измерения влияют несколько независимых случайных факторов, то вступает в силу закон сложения дисперсий: дисперсия результата равна сумме "составляющих" дисперсий.

А также сюда:
http://chemstat.com.ru/
Тут есть форум взаимопомощи:
http://chemstat.com.ru/forum

Другой вариант: найти пакет MatCad и ввести в него свои данные. Пусть считает. :)

и последнее соображение

[(Anonymous)]

Если расчетные значения принимать за истиные (что в принципе не верно. Но возможно :) ).
В общем, еще одна пользительная ссылка:
http://www.xumuk.ru/encyklopedia/2/2990.html

Re: Как поступают белые люди

[alonso-kexano.livejournal.com]

О. Спасибо большое - это то, что нужно.
Извините... а Вы химик или математик?:)
Сначала подумала, что математик из-за количества умных слов, потом, судя по тому, как хорошо разбираетесь в специальном предмете - сочла все же химиком.
А задание не из университетской методички. Программа, которую я использую для расчета теоретических значений, выдает, собственно, эту величину, как данность.
Мне интересно стало все-таки, как она рассчитывается.

я химик...

[(Anonymous)]

... экс-химик, много занимавшийся хемометрикой и метрологией.
Впрочем, зарекаться от возврата не стоит.

Если _программа_ считает, то вполне может быть, что там и используется какая-нибудь бяка вроде рядов Тейлора и т.д. Человек, даже химик, :), даже экспериментатор, в здравом уме и твердой памяти вручную считать это не будет.
Самое забавное, что физически смысл этой величины понять относительно легко, а вот вычислить...

Но ладно. Если что-то оказалось для Вас не бесполезным, я рада.